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Obtención de la ecuación de la parábola

Como lugar geométrico, la parábola se define como el conjunto de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco y de una recta llamada directriz.

Vamos a calcular la ecuación de la parábola que surge de colocar el foco en el punto \(F=(0, p/2)\) y la directriz en la recta \(y=-\dfrac{p}{2}\), de modo que p es la distancia entre el foco y la directriz.

Dado un punto \(X=(x,y)\) de la parábola, es obvio que

\[d(X,directriz)=y+\dfrac{p}{2}\]

y que

\[d(X,F)=\sqrt{x^2+(y-\dfrac{p}{2})^2}\].

Como ambas distancias deben ser iguales por definición, igualamos ambas expresiones:

\[\sqrt{x^2+(y-\dfrac{p}{2})^2}=y+\dfrac{p}{2}\]

Elevando al cuadrado y desarrollando:

\[x^2+y^2+\dfrac{p^2}{4}-yp=y^2+\dfrac{p^2}{4}+yp\]

Simplificando:

\[x^2=2py\]


► Archivo GeoGebra: ecuación parábola.

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