Epsilones

Fragmentos

Siguenos en Blogger

 ◄
► 
Siguiente

Obtención de la ecuación de la elipse

Como lugar geométrico, la elipse se define como el conjunto de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante.

Vamos a calcular la ecuación de una elipse centrada en el origen con sus focos en los puntos \(F'=(-c, 0)\) y \(F=(c, 0)\). Para ello, vamos a obtener dos resultados previos.

Sea el punto \(A=(a,0)\) de la figura. Es obvio que \(d(A,F)=a-c\) y que \(d(A,F')=a+c\), de modo que si sumamos ambas distancias tenemos;

\[d(A,F)+d(A,F')=a-c+a+c=2a\]

Por lo tanto, para cualquier punto de la elipse, la suma de distancias a los focos debe ser 2a.

Si ahora nos fijamos en el punto \(B=(0, b)\), vemos que su distancia a F es la misma que sus distancia a F'. Como, por otra parte, la suma de las distancias debe ser 2a, la distancia de B a cada foco es exaxtamente a. Aplicando el teorema de Pitágoras al triángulo OFB, tenemos

\[a^2=b^2+c^2\]

Escribimos ahora la condición que deben cumplir por definición los puntos de la elipse. Si \(P=(x,y)\) es uno de tales puntos, se tiene que

\[d(P,F')=\sqrt{(x+c)^2+y^2}\]

y que

\[d(P,F)=\sqrt{(x-c)^2+y^2}\]

La suma de ambas distancias debe ser 2a:

\[\sqrt{(x+c)^2+y^2}+\sqrt{(x-c)^2+y^2}=2a\]

Se deja solo una raíz en el miembro de la izquierda

\[\sqrt{(x+c)^2+y^2}=2a-\sqrt{(x-c)^2+y^2}\]

Se eleva al cuadrado

\[(x+c)^2+y^2=4a^2+(x-c)^2+y^2-4a\sqrt{(x-c)^2+y^2}\]

Desarrollando y simplificando

\[cx-a^2=-a\sqrt{(x-c)^2+y^2}\]

Se eleva de nuevo al cuadrado

\[c^2x^2+a^4-2cxa^2=a^2((x-c)^2+y^2)\]

Desarrollando, simplificando y sacando factor común

\[(a^2-c^2)x^2+a^2y^2=a^2(a^2-c^2)\]

Sustituyendo \(a^2-c^2\) por \(b^2\) tenemos

\[b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2\]

A mí la ecuación anterior me gusta, aunque la siguiente, obtenida dividiendo todo por \(a^2b^2\), tampoco está mal:

\[\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\]


Fragmentos

 
Comentarios
Epsilones. Página + o - matemática de Alberto. Correo: alberto@epsilones.com. En la red desde el 4-7-2002 (ya hace). Última actualización: ver Novedades.
Siguenos en Blogger
 

 

Con esto se termina la página:

El contenido de esta página requiere una versión más reciente de Adobe Flash Player.

Obtener Adobe Flash Player