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Demostración de la reflexión foco a foco de la elipse

En Obtención de la ecuación de la elipse vimos que una elipse centrada en el origen con focos \(F'=(-c, 0)\) y \(F=(c, 0)\) semiejes a y b tiene por ecuación

\[b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2 \ \ \ \ \ \ \ [1]\]

Dado un punto \(P=(p, q)\) de la elipse, vamos a calcular los ángulos que forman los vectores F'P y FP con la normal a la curva en P. Si esos ángulos son iguales, habremos demostrado que la reflexión de F'P es FP.

Derivamos en [1]: \(2b^2x+2a^2yy'=0\)

Despejando se tiene \(y'=\dfrac{-b^2x}{a^2y}\),

que en el punto P será \(y'=\dfrac{-b^2p}{a^2q}\)

Siendo lo anterior la pendiente de la recta tangente, la de la normal será: \(m_n=\dfrac{a^2q}{b^2p}\),

lo que nos permite elegir el vector normal \(n=(b^2p,a^2q)\)

Sean los vectores \(F'P=(p+c,q)\) y \(FP=(p-c,q)\)

Se tiene entonces:

\[cos(n,F'P)=\dfrac{n·F'P}{|n|·|F'P|}=\dfrac{b^2p(p+c)+a^2q^2}{\sqrt{(p+c)^2+q^2}\sqrt{b^4p^2+a^4q^2}}\]

Desarrollando en el denominador:

\[cos(n,F'P)=\dfrac{b^2p^2+b^2pc+a^2q^2}{\sqrt{(p+c)^2+q^2}\sqrt{b^4p^2+a^4q^2}} \ \ \ \ \ \ \ [2]\]

Por [1], como P es de la elipse, \(b^2p^2+a^2q^2=a^2b^2 \ \ \ \ \ \ \ [3]\).

Sustituyendo en [2] y sacando factor común,

\[cos(n,F'P)=\dfrac{b^2(a^2+pc)}{\sqrt{(p+c)^2+q^2}\sqrt{b^4p^2+a^4q^2}} \ \ \ \ \ \ \ [4]\]

Vamos a simplificar el cociente \(\dfrac{a^2+pc}{\sqrt{(p+c)^2+q^2}} \ \ \ \ \ \ \ [5]\).

Despejando en [3], tenemos que

\[q^2=\dfrac{a^2b^2-b^2p^2}{a^2}=b^2-\dfrac{b^2p^2}{a^2}\]

Sustituyendo en [5], desarollando y simplificando tenemos

\[\dfrac{a^2+pc}{\sqrt{(p+c)^2+q^2}}=\dfrac{a^2+pc}{\sqrt{(p+c)^2+b^2-\dfrac{b^2p^2}{a^2}}}=\dfrac{a(a^2+pc)}{\sqrt{(a^2+pc)^2}}=a \ \ \ \ \ \ \ [6]\].

No ha estado mal, ¿verdad?

Sustityendo ahora [6] en [4]

\[cos(n,F'P)=\dfrac{ab^2}{\sqrt{b^4p^2+a^4q^2}} \ \ \ \ \ \ \ [7]\]

Lo interesante del asunto es que siguiendo los mismos pasos, el coseno del ángulo formado por el vector normal y el vector FP vale exactamente lo mismo:

\[cos(n,FP)=\dfrac{ab^2}{\sqrt{b^4p^2+a^4q^2}} \ \ \ \ \ \ \ \ [8]\]

Así, los ángulos formados por los segmentos FP y F'P con la normal en el punto de incidencia P son iguales y por tanto reflejo uno del otro, que es lo que queríamos demostrar.


► Historias matemáticas: Las propiedades de reflexión de las cónicas

 
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Epsilones. Página + o - matemática de Alberto. Correo: alberto@epsilones.com. En la red desde el 4-7-2002 (ya hace). Última actualización: ver Novedades.
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