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Las cónicas como lugares geométricos

Las cónicas, además de obtenerse como secciones planas de un cono, pueden también definirse como lugares geométricos.

Elipse

La elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante.

Es decir: dados dos puntos F y F' y un número \(k>d(F,F')\), P es de la elipse si \(d(P, F)+d(P, F')=k\).

En la figura, arrastrando con el boton izquierdo del ratón el punto P aparecen los puntos de la curva. La suma de las longitudes de los segmentos que unen P con F y F' es siempre la misma.

Si sustituimos los focos por estacas, los segmentos que unen los focos con P por una cuerda tensa y el punto P por un palo tendremos el llamado método del jardinero, utilizado por tan noble profesión para dibujar en el terreno parterres elípticos.

 

Parábola

La parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco y de una recta llamada directriz.

En la construcción tenemos una cuerda sujeta por un extremo al cartabón en el punto H y, por el otro extremo, al punto fijo F. Dicha cuerda mide lo mismo que la distancia del punto H a la recta directriz (la longitud del cateto largo del cartabón). Manteniendo tensa la cuerda y pegada todo lo posible al cartabón, conseguimos que las distancias del punto G a F y a la directriz sean siempre iguales. Moviendo el punto de la directriz se obtienen los puntos de la parábola.

 

Hipérbola

La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante. (Sí, si en la elipse era la suma, ahora es la resta).

La construcción nos muestra un procedimiento para obtener la curva: sean F y F' los focos. Dibujamos centrada en F, podría ser F', una circunferencia de radio k (esta va a ser la constante de la definición). Para cada punto P de la circunferencia consideramos, por un lado, la recta que lo une con F y, por otro, la mediatriz del segmento que lo una con F'. Ambas rectas se cortarán en un punto H.

Ahora bien: por ser H de la mediatriz, se tiene que \(d(H, F') = d(H,P)\).

Por otra parte, es obvio que \(d(H,F)=d(H,P)+d(P,F)\).

Restando ambas distancias se tiene: \(d(H,F)-d(H, F') ==d(H,P)+d(P,F)-d(H,P)=d(P,F)=k\).

Y esto para cualquier punto P, de modo que, arrastrándolo a lo largo de la circunferencia, tendremos una bonita hipérbola.

(Lo anterior vale para los puntops H de la rama izquierda. Para la rama derecha se demuestra de un modo similar).

 

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Epsilones. Página + o - matemática de Alberto. Correo: alberto@epsilones.com. En la red desde el 4-7-2002 (ya hace). Última actualización: ver Novedades.
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