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Reflejos circulares

Introducción: las leyes de la reflexión

Cuando un rayo de luz incide sobre una superficie reflectante se cumplen las llamadas leyes de la reflexión:

  1. El rayo incidente, la normal y el rayo reflejado están en un mismo plano.
  2. El ángulo de incidencia y el ángulo de reflexión coinciden.

(En lo sucesivo, los puntos rojos pueden moverse arrastrándolos con el botón izquierdo ratón)

Cuando la superficie no es plana sino curva, los ángulos de incidencia y de reflexión se miden respecto de la tangente en el punto de incidencia. También la normal se refiere a esta tangente. Como se ve en la siguiente construcción, el camino seguido por el rayo reflejado es simétrico al que hubiese seguido el rayo incidente si no se hubiese encontrado con el espejo.

 

Si consideramos un espejo esférico, la primera ley de la reflexión nos dice que los rayos incidente y reflejado y la normal van a estar en un mismo plano, por lo que podemos quedarnos con dicho plano y la correspondiente sección circular de la esfera. Además, dada la curvatura constante de la esfera, una vez que un rayo de luz incida en su cara interior empezará a reflejarse, una y otra vez, siempre con el mismo ángulo y siempre en el mismo plano.

Reflejos infinitos

La siguiente cuestión surge de modo natural: si dejamos que el rayo de luz se refleje una y otra vez sin fin, ¿qué figura se formará? Dejando a un lado toda consideración física, vamos a imaginar que nuestro rayo se refleja sin pérdida ninguna en el espejo circular. Entonces el rayo luminoso seguirá una trayectoria poligonal formada por infinitos segmentos.

Una forma de analizar la forma de esta poligonal es salirnos de las proximidades de la curva y colocarnos en el centro del círculo. Desde allí podemos fijarnos en el ángulo central que abarcan las cuerdas que unen los sucesivos puntos de contacto del rayo de luz con la curva. Si este ángulo es un divisor exacto de un giro completo, la poligonal volverá al punto de partida y se formará un polígono regular.

Si en vez de un divisor de un giro usamos ángulos que sean divisores de n giros, obtendremos poligonales que se acabarán cerrando después de dar n vueltas completas. Es decir, tendremos polígonos estrellados.

El ángulo central que abarcará cada lado se obtiene trivialmente mediante la fórmula \(\alpha=\dfrac{n·360º}{m}\), siendo n el número de vueltas y m el número de lados de la poligonal.  

En la construcción anterior aparecen polígonos que no son estrellados. Esto ocurre porque, al ser el número de lados par, cada vuelta consta de un número entero de lados, por lo que se cierra. En general, para que los polígonos obtenidos sean realmente estrellados, el número de vueltas y el número de lados deben ser primos entre sï.

Si lo miramos desde el punto de vista del ángulo central, siempre que este sea una fracción racional de un giro completo, la poligonal se acabará cerrando: si \(\alpha=\dfrac{p}{q}360º\), con p y q enteros primos entre sí, bastará repetir la reflexión q veces para que la poligonal se cierre a las p vueltas.

Veamos polígonos que se cierran a las tres vueltas.

A medida que aumenta el número de vueltas, loslados se cortan entre sí en un número mator de puntos. Pero, ¿en cuántos? Es fácil: \(2^{n-1}\).

¿Y si el ángulo no es una fracción racional de la circunferencia? Pues nunca se cerrará: si \(\alpha=r·360º\), con r irracional, sea cual sea el número de reflexiones n, el produccto n·r nunca será entero y, por tanto, nunca tendremos una cantidad entera de giros.

De hecho, el rayo nunca incidirá en el mismo punto: supongamos lo contrario, supongamos que llegamos en dos ocasiones al mismo punto. En una lo haremos tras p reflexiones y en otra tras q reflexiones. Si \(\alpha=r·360º\), con r irracional, en un caso habremos girado p·r·360º y en el otro q·r·360º. Si ambos giros corresponden al mismo punto, su diferencia debe ser un múltiplo entero de 360º: \(p·r·360º - q·r·360º = m·360º\). Operando, tenemos que \(r=\dfrac{m}{p-q}\), lo cual es una contradicción, porque r es irracional.

La conclusión es que el rayo de luz incidirá en infinitos puntos distintos de la circunferencia. Pero, ¿tocará en todos los puntos de la circunferencia?

Mientras piensas en el asunto, puedes utilizar la siguiente construcción para explorar un poco más las reflexiones circulares.

No: no tocará en todos: a fin de cuentas. el número de reflejos, al producirse uno detrás de otro, será numerable, mientras que el número de puntos de la circunferencia tiene la potencia del continuo. Aunque decir estas cosas cuando hablamos de espejos no sé si tiene mucho sentido...


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