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Obtención de la ecuación de la cisoide

En la sección de curvas se define la cisoide de la siguiente manera: "dadas dos curvas en polares \(\rho_1=f_1(\theta)\) y \(\rho_1=f_2(\theta)\), su cisoide es la curva \(\rho=f_1(\theta)-f_2(\theta)\)".

Vamos a obtener aquí la cisoide de una circunferencia de centro en (r,0) que contiene al origen de coordenadas y una recta vertical de ecuación \(x = a\), caso representado en la figura.

Ecuación polar

Punto P:    \(cos\theta=\dfrac{a}{\rho_p}\ \Rightarrow\ \rho_p=\dfrac{a}{cos\theta}\)

Punto Q:    \(cos\theta=\dfrac{\rho_q}{2r}\ \Rightarrow\ \rho_q=2rcos\theta\)

Restando:    \(\rho=\dfrac{a}{cos\theta}-2rcos\theta\)

Ecuaciones pramétricas

Se pasan las polares a paramétricas:

x=\(\rho·cos\theta=\left(\dfrac{a}{cos\theta}-2rcos\theta\right)·cos\theta=a-2rcos^2\theta=a-r(1+cos2\theta)\)

y=\(\rho·sen\theta=\left(\dfrac{a}{cos\theta}-2rcos\theta\right)·sen\theta=atg\theta-rsen2\theta\)

Ecuación cartesiana

Despejando de las paramétricas:

\(rcos2\theta=a-r-x\)

\(rsen2\theta=a·tg\theta-y\)

y elevando al cuadrado y sumando ambas ecuaciones, se tiene

\(r^2=(a·tg\theta-y)^2+(a-r-x)^2\)

Como \(tg\theta=\dfrac{y}{x}\)

\(r^2=(a·\dfrac{y}{x}-y)^2+(a-r-x)^2\)

Operando y simplificando:

\(r^2=y^2(\dfrac{a}{x}-1)^2+(a-r-x)^2\)

\(\dfrac{y^2(a-x)^2}{x^2}=r^2-a^2-r^2-x^2+2ra+2ax-2rx\)

\(y^2(a-x)^2=x^2(-a^2-x^2+2ax+2ra-2rx)\)

\(y^2(a-x)^2=x^2[-(a-x)^2+2r(a-x)]\)

\(y^2(a-x)^2=x^2(a-x)[-(a-x)+2r]\)

\(y^2(a-x)=x^2(2r+x-a)\)


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Epsilones. Página + o - matemática de Alberto. Correo: alberto@epsilones.com. En la red desde el 4-7-2002 (ya hace). Última actualización: ver Novedades.
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