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Obtención de la ecuación de la cuadratriz

Un segmento horizontal barre el cuadro de arriba a abajo a velocidad constante. Otro segmento gira desde la vertical hasta la horizontal a la misma velocidad. La cuadratriz es la trayectoria descrita por el punto de intersección de ambos segmentos.

Vamos a obtener una ecuación cartesiana. Sea \(P(x, y)\) un punto de la cuadratriz y supongamos que el cuadrado es de lado uno. Entonces \(y\in (0,1)\) y \(\theta=\dfrac{\pi}{2}y\).

Como \({\rm cotg} \theta =\dfrac{x}{y}\), sustituyendo:

\[{\rm cotg}(\dfrac{\pi y}{2})=\dfrac{x}{y}\]

y

\[x=y\ {\rm cotg}(\dfrac{\pi y}{2})\]

***

Igual de sencillo es obtener una ecuación en polares:

En la figura se ve que \({\rm sen} \theta=\dfrac{y}{r}\).

Como \(\theta=\dfrac{\pi}{2}y\), se tiene que \(y=\dfrac{2 \theta}{\pi}\).

Sustituyendo:

\[{\rm sen} \theta=\dfrac{2 \theta}{\pi r}\]


 
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Epsilones. Página + o - matemática de Alberto. Correo: alberto@epsilones.com. En la red desde el 4-7-2002 (ya hace). Última actualización: ver Novedades.
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