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Obtención de la ecuación de la tractriz

La tractriz es la trayectoria de un punto arrastrado por otro que se desliza en línea recta. En la figura, el punto C se desplaza hacía arriba arrastrando al punto T, que puede ser una barca arrastrada por una cuerda. Al principio la barca situada en L y en horizontal, mirando la origende coordenadas. Después, a medida que C se desplaza por el eje OY, la barca va cambiando continuamente su rumbo, que siempre apunta a C.

Lo dicho se traduce en que, si la cuerda es completamente rígida, la trayectoria de la barca será siempre tangente a ella. Por esto a la tractriz también se le llama equitangencial, dado que la longitud del segmento de tangente comprendido entre el punto de tangencia y el punto de corte con la asíntota es constante (en la figura, el segmento rojo).

Lo que vamos a hacer es calcular, para cada punto de la gráfica, el punto de corte de la tangente con el eje vertical. Como la distancia entre ambos puntos, el de tangencia y el de corte con el eje OY, debe ser constante, podremos escribir una ecuación diferencial que, una vez integrada, nos dará la ecuación de la curva.

Sea f(x) la función que tiene por gráfica la tractriz.

En un punto de abscisa x = a, la ecuación de la tangente a la gráfica de f(x) será:

\[y-f(a)=f'(a)·(x-a)\]

Para hallar el punto de corte con el eje OY hacemos x = 0. Entonces; y = f(a) - a·f '(a)

Así, el punto de corte C de la tangente con el eje vertical tendrá por coordenadas (0, f(a) - a·f '(a)), mientras que las del punto de tangencia T serán (a, f(a)).

Si L es la distancia que hay entre el punto arrastrado y el que arrastra (es decir, la longitud de la cuerda del barquero), se debe cumplir d(T, C) = L, es decir:

\[\sqrt{(a-o)^2+(f(a)-(f(a)-af'(a)))^2}=L\]

Haciendo L = 1 por comodidad y despejando se tiene:

\[f'(a)=-\dfrac{\sqrt{1-a^2}}{a}\]

Se toma la raíz negativa porque las pendientes de las tangentes a la curva de la figura son negativas. Tomando la raíz positiva se obtendría la ecuación de la otra rama de la tractriz, la que correspondería a un movimiento hacia abajo en vez de hacia arriba.

Ahora, integrando entre 1 y x para que f(1) = 0, queda (con el cambio de variable 1 - a2 = t2 sale fácil):

\[f(x)=\displaystyle\int_{1}^{x} -\dfrac{\sqrt{1-a^2}}{a}da=-\sqrt{1-x^2}+ln\left(\dfrac{1+\sqrt{1-x^2}}{x}\right)\]

En conclusión:

\[f(x)=-\sqrt{1-x^2}+ln\left(\dfrac{1+\sqrt{1-x^2}}{x}\right)\]

 
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Epsilones. Página + o - matemática de Alberto. Correo: alberto@epsilones.com. En la red desde el 4-7-2002 (ya hace). Última actualización: ver Novedades.
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