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Demostración de la igualdad entre sumas y productos de tangentes

Si α, β, γ son tres ángulos tales que \(\alpha+\beta+\gamma=\pi\) , entonces \({\rm tg}\alpha+{\rm tg}\beta+{\rm tg}\gamma={\rm tg}\alpha·{\rm tg}\beta·{\rm tg}\gamma\).
Demostración

Como \(\alpha+\beta+\gamma=\pi\) , se tiene:

\({\rm tg}\gamma={\rm tg}(\pi-(\alpha+\beta)=-{\rm tg}(\alpha+\beta)\)

Aplicando la fórmula de la tangente de la suma:

[1] \({\rm tg}\gamma=-\dfrac{{\rm tg}\alpha+{\rm tg}\beta}{1-{\rm tg}\alpha·{\rm tg}\beta}\)

Entonces: \({\rm tg}\alpha+{\rm tg}\beta+{\rm tg}\gamma={\rm tg}\alpha+{\rm tg}\beta-\dfrac{{\rm tg}\alpha+{\rm tg}\beta}{1-{\rm tg}\alpha·{\rm tg}\beta}\).

Operando y simplificando el segundo miembro, se tiene:

\({\rm tg}\alpha+{\rm tg}\beta+{\rm tg}\gamma=\dfrac{-{\rm tg}^2\alpha·{\rm tg}\beta-{\rm tg}\alpha·{\rm tg}^2\beta}{1-{\rm tg}\alpha·{\rm tg}\beta}\)

Sacando factor común:

\({\rm tg}\alpha+{\rm tg}\beta+{\rm tg}\gamma={\rm tg}\alpha·{\rm tg}\beta·\left(-\dfrac{{\rm tg}\alpha+{\rm tg}\beta}{1-{\rm tg}\alpha·{\rm tg}\beta}\right)\)

A la expresión del paréntesis se le aplica de nuevo [1] y queda:

\({\rm tg}\alpha+{\rm tg}\beta+{\rm tg}\gamma={\rm tg}\alpha·{\rm tg}\beta·{\rm tg}\gamma\)


► Fórmulas: Igualdad de sumas y productos de tangentes.

► Bestiario: Trigonometría

 
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Epsilones. Página + o - matemática de Alberto. Correo: alberto@epsilones.com. En la red desde el 4-7-2002 (ya hace). Última actualización: ver Novedades.
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