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La ecuación de la espiral de Durero

"Le escribía porque he estado hojeando su web para buscar la ecuación de la espiral de Durero o espiral áurea pero no la he encontrado. La verdad es no la encuentro por ningún lado. ¿Es tan difícil de obtenerla? Le escribía para pedirle que dijera cuál es o dónde puedo encontrarla."

Santi Campos


Pues no, no es que la ecuación sea difícil: en que en realidad no tiene demasiado sentido expresarla mediante una sola fórmula. La cuestión es que la espiral de Durero está compuesta de cuartos de circunferencia cuyos radios forman una progresión geométrica de razón áurea. Cada uno de esos “trozos” se puede expresar por tanto con la ecuación de la circunferencia, teniendo en cuenta que cada trozo posee un centro y un radio distintos.

La que sí tiene una ecuación sencilla es la espiral logarítmica, de la que la espiral áurea es una aproximación cuyo interés reside precisamente en que se puede dibujar con compás.

Precisando:

Si (a, b) es el centro de un cuarto de circunferencia, r su radio y \(\beta\) el ángulo respecto de la horizontal del radio vector del primer punto, las ecuaciones paramétricas de este arco serán:

\[\left\{\begin{array}{l} x=a+r·{\rm cos\alpha} \\y=b+r·{\rm sen\alpha}\end{array}\right. \ \ \ \beta\leq\alpha\leq{\beta+\frac{\pi}{2}}\]

Los valores correspondientes al siguiente cuarto se pueden obtener con las fórmulas:

\[\begin{array}{l} \beta'=\beta+\frac{\pi}{2} \\ r'=\dfrac{\sqrt5 -1}{2}r\\a'=a-\dfrac{3-\sqrt{5}}{2}r·{\rm sen\beta}\\b'=b+\dfrac{3-\sqrt{5}}{2}r·{\rm cos\beta}\end{array}\]

Espero haberte aclarado la cuestión.


Curvas: La espiral de Durero

 
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Epsilones. Página + o - matemática de Alberto. Correo: alberto@epsilones.com. En la red desde el 4-7-2002 (ya hace). Última actualización: ver Novedades.
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