Epsilones
Fragmentos
Siguenos en Blogger

 ◄
► 
Siguiente

Logaritmo de un número complejo

Los logaritmos, definidos en principio para números positivos, fueron extendidos a los complejos por el infatigable señor Euler, allá por el siglo XVIII.

Lo que hizo fue, aproximadamente, lo siguiente:

Sea un número complejo z de módulo r y argumento \(\theta\).

En forma trigonométrica será:

\[z=r(\cos \theta+i\sin \theta)\]

Por la fórmula de Euler \(e^{i\theta}=\cos \theta+i\sin \theta\) se tiene que

\[z=r·e^{i\theta}\]

y por ser el seno y el coseno funciones periodicas de periodo \(2\pi\)

\[z=r·e^{i(\theta+2k\pi)}\]

Tomando logaritmos

\[\ln z=\ln \left(r·e^{i(\theta+2k\pi)}\right)=\ln r+\ln e^{i(\theta+2k\pi)}=\ln r+i(\theta+2k\pi)\]

Es decir:

\[\ln z=ln r+i(\theta+2k\pi)\]

La sorpresa no se reduce al hecho de que los complejos tengan logaritmo, sino que cada uno de ellos tenga en realidad infinitos logaritmos.

Aplicando esta fórmula, Euler obtuvo el valor de i elevado a i.


Fórmula de Euler
 
Comentarios
Epsilones. Página + o - matemática de Alberto. Correo: alberto@epsilones.com. En la red desde el 4-7-2002 (ya hace). Última actualización: ver Novedades.
Siguenos en Blogger
 

 

Con esto se termina la página:

El contenido de esta página requiere una versión más reciente de Adobe Flash Player.

Obtener Adobe Flash Player