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Suma de los primeros términos de una progresión arítmética

Una progresión aritmética es una sucesión en la que cada término se obtiene sumándole al anterior una cantidad fija llamada diferencia. Un ejemplo sería la sucesión 3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, 31..., que se obtiene partiendo de 3 y después sumando 4 a cada término para obtener el siguiente.

Sumar unos cuantos términos de una progresión aritmética es un problema muy sencillo si uno observa el siguiente esquema:

¿Cuánto suman 3 y 31? ¿Y 7 y 27? ¿Y 11 y 23? Pues sí, todas las sumas dan lo mismo, 34, lo cual es lógico si pensamos que lo que añadimos al coger por la izquierda un término más avanzado de la sucesión se compensa con lo que quitamos por la derecha al tomar un término menos avanzado (7 son 4 unidades más que 3, pero 27 son 4 unidades menos que 31).

Si lo que queremos es sumar, por ejemplo, los 8 primeros términos de la sucesión anterior, basta razonar de la siguiente manera: como son 8 términos se pueden formar 4 pares. Como cada par suma lo mismo que el primero más el último, la suma será 4·(3 + 31) = 136.

Generalizando obtenemos la fórmula \(S_n=(a_1+a_n)·\frac{n}{2}\), en la que a1 es el primer término de la suma, an el último y n el número de términos.

En la conocida anécdota de Gauss y el pizarrín, nuestro héroe se dio cuenta del truco anterior a los diez años, y observando una serie bastante más fea: 81297 + 81495 + 81693 + ... + 100899. En cualquier caso, pese a la fealdad de los números, le bastó sumar 81297 y 100899 y multiplicar el resultado por 50 (o por cien y dividir luego entre dos) para dejar a su maestro hundido en la miseria para los restos.


 
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Epsilones. Página + o - matemática de Alberto. Correo: alberto@epsilones.com. En la red desde el 4-7-2002 (ya hace). Última actualización: ver Novedades.
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