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Demostración del teorema de Pitágoras generalizado

El teorema de Pitágoras, en su forma habitual, dice que en todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos, lo cual es una interpretación algebraica de un hecho geométrico: en todo triángulo rectángulo, el área de un cuadrado construido sobre la hipotenusa (el lado mayor) es igual a la suma de las áreas de los dos cuadrados construidos sobre los catetos.

Lo sorprendente es que esta relación se puede generalizar a toda terna de figuras semejantes cuyas longitudes formen una terna pitagórica. Vamos, que si en vez tres aburridos cuadrados dibujamos sobre un triángulo rectángulo tres gatos de Cheshire, el área de la superficie ocupada por el dibujo del mayor de los tres será igual a la suma de las áreas de los otros dos dibujos.

La demostración de este hecho es prácticamente trivial:

Sea a una longitud cualquiera del gato grande (puede ser el ancho, pero también la distancia entre los extremos de las orejas, o la amplitud de su sonrisa). Sean b y c las mismas longitudes pero medidas en las otras dos imágenes, b para el gato mediano y c para el pequeño. Se supone que a, b y c forman terna pitagórica, es decir, que cumplen:

\[a^2=b^2+c^2          [1]\]

Sean A, B y C las áreas de las superficies ocupadas por el dibujo de cada uno de los gatos, de mayor a menor. Es sabido que si dos figuras son semejantes, el cociente entre sus áreas es igual al cuadrado del cociente entre sus longitudes.

Por lo tanto:

\(\frac{B}{A}=(\frac{b}{a})^2, \frac{C}{A}=(\frac{c}{a})^2\)

Despejando:

\(b^2=a^2\frac{B}{A}, c^2=a^2\frac{C}{A}\)

Sustituyendo en [1], se tiene

\(a^2=a^2\frac{B}{A}+ a^2\frac{C}{A}\)

Simplificando: A = B + C


► Problemas: Las lúnulas y el triángulo.
 
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Epsilones. Página + o - matemática de Alberto. Correo: alberto@epsilones.com. En la red desde el 4-7-2002 (ya hace). Última actualización: ver Novedades.
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