Caos

Pero caos, además, es un término técnico que alude a un concepto matemático preciso y exento de toda connotación esotérica. Tiene su definición, sus propiedades, sus modelos, y un montón de preguntas por responder y misterios por resolver. Pero son misterios matemáticos, preguntas matemáticas. Nada más y nada menos.

Unos se quejan de que el caos no es lo que dicen los matemáticos que es. Otros, por el contrario, cantan alborozados porque los matemáticos han encontrado las leyes del caos. Pero ambas posturas son erróneas, porque la teoría matemática del caos trata sobre el caos matemático, y el caos matemático es lo que dicen los matemáticos que es. Y no es por prepotencia, sino por definición.

No obstante hay que reconocer que este tipo de errores está justificado por el placer que los matemáticos encuentran en utilizar términos del lenguaje corriente para denominar sus teorías. Y sobre todo por la tendencia de los periodistas a airear precisamente aquellas teorías que poseen nombres espectaculares, como teoría de catástrofes o teoría del caos.

La teoría del caos trata del estudio de ciertos sistemas dinámicos que en ciertas condiciones presentan comportamientos confusos y desordenados. Este tipo de fenónemos son tremendamente comunes y por tanto el ámbito de aplicabilidad de la teoría es enorme: desde las órbitas planetarias hasta el tiempo meteorológico, pasando por la dinámica de los fluidos o la existencia misma de formas cuasi-fractales, infinidad de situaciones presentan características caóticas y pueden ser por ello mejor entendidas gracias al caos. Al caos matemático, quiero decir.

Pero ya está bien de preámbulos. Empecemos.

Definición

Se llama caótico a todo sistema determinista que es sensible a las condiciones iniciales.

Veamos qué significa esto.

Sistemas deterministas

Lo de determinista se aplica a aquellos sistemas cuyas ecuaciones especifican completamente su evolución. Por poner un ejemplo, imaginemos un cultivo de bacterias que multiplica su población por una constante k en cada generación. El sistema podrá expresarse con la ecuación

donde p_nes la población de la generación n y p_n+1la población de la generación siguiente. Ahora, basta conocer la condición inicial del sistema, es decir, la población inicial, p₀, para poder conocer perfectamente su desarrollo. Supongamos que experimentalmente hemos obtenido los valores k = 3,9 y p₀ = 0,1 (en ciertas unidades de población, como puede ser el millón de individuos, por ejemplo). Tendremos entonces que la población de las siguientes generaciones de bacterias será:

• p₁ = k· p₀ = 3,9·0,1 = 0,39
• p₂ = k· p₁ = 3,9·0,39 = 1,521
• p₃ = k· p₂ = 3,9·1,521 = 5,9319

y en general (es una simple progresión geométrica):

• p_n = 0,1·3,9ⁿ

Basta mirar esta última fórmula para entender que si conocemos la generación en la que nos encontramos, es decir, el valor de n, inmediatamente podremos obtener la población actual. Es decir, que el sistema está completamente determinado por la ecuación. Es un sistema determinista.

Sensibilidad a las condiciones iniciales

La segunda condición que establece la definición de sistema caótico es que sea sensible a las condiciones iniciales. Un sistema es sensible en este sentido cuando pequeños cambios en los valores iniciales producen grandes cambios en los valores que toma el sistema con el paso del tiempo. Edward Lorenz, meteorólogo y padre del caos, expresó esta idea con su célebre efecto mariposa: "basta el aleteo de una mariposa en Brasil para desencadenar un tornado en Texas".

Para entender el asunto veamos si nuestro cultivo de bacterias es sensible o no. Para saberlo tenemos que ver qué pasa al variar ligeramente las condiciones inicales, en nuestro caso la población inicial, p₀. Pongamos que en vez de con 0,1 iniciamos los cálculos con el valor 0,101, que es un 1% mayor que la original. ¿Cambiarán mucho las poblaciones de las generaciones sucesivas?

Por lo visto en el epígrafe anterior, es evidente que pasadas n generaciones la población en un caso será de 0,1·3,9ⁿ millones de bacterias, mientras que en el otro caso será de 0,101·3,9ⁿ millones de bacterias. La diferencia entre ambas poblaciones es por tanto de 0,001·3,9ⁿ millones, lo cual supone un 1% del total. Es decir: si la población inicial es un 1% mayor, la población final también es un 1% mayor, pasen las generaciones que pasen (da igual que n sea 100 o 100000). Luego nuestra población de bacterias NO es un sistema sensible a las condiciones iniciales.

Llegados a este punto se hace necesario encontrar un ejemplo de sistema determinista que SÍ sea sensible a las condiciones iniciales. Para ello nos vamos a ir hasta 1845, año en el que P. F. Verhulst estableció una limitación al crecimiento de una población, de modo que la tasa de crecimiento fuese proporcional a 1- p, donde p es la población del momento y 1 la población máxima permitida por el nicho ecológico correspondiente. Sin entrar en detalles, sus consideraciones dieron lugar a la siguiente ley dinámica, conocida con el nombre de función logística:

\[p_{n+1}=k·p_n·(1-p_n)\]

donde k es la constante de crecimiento.

Que el sistema es determinista es evidente: igual que en el caso anterior no tenemos más que aplicar la ley a partir de un valor inicial p₀ para obtener las poblaciones de las distintas generaciones de bacterias.

Quedaría pues estudiar la sensibilidad del sistema. Y es aquí donde empiezan las sorpresas, porque si hacemos los cálculos para k = 3,9 y p₀ igual a 0,1 y 0,101 obtenemos las siguientes poblaciones:

Salta a la vista lo que ocurre, ¿verdad? ¿No? Probemos a representar gráficamenete los datos:

Ahora sí: al principio parece que el que la población inical sea de 0,1 o de 0,101 no influye demasiado, pues ambas series evolucionan prácticamente igual. Sin embargo, a partir de la quinta generación las cosas se estropean, los datos empiezan a diverger y cada serie tira por su lado.

Pues bien: esto es, exactamente, la sensibilidad a las condiciones iniciales de la que hablábamos. Esto, el que una pequeña variación en las condiciones iniciales (la población de partida) haga que un sistema, por otra parte determinista, tenga una evolución completamente distinta es lo que llamamos caos matemático.

¿El fin del sueño de Laplace?

La consecuencia de lo visto es evidente: aún teniendo las ecuaciones exactas que describen el sistema, si los datos iniciales no son exactos no podremos predecir que pasará con el sistema en el futuro. Teniendo en cuenta que los datos raramente, por no decir nunca, son exactos, llegamos a la conclusión de que un sistema caótico, por muy determinista que sea, es impredecible. De otro modo: tenemos las ecuaciones pero no nos sirven para nada.

Podría pensarse que el problema es meramente técnico, una simple cuestión relativa a la precisión de los aparatos de medida. Pero lo cierto es que la sensibilidad de la que hablamos es tan grande que en la práctica puede ser imposible alcanzar la preción necesaria para conseguir previsiones aceptables. Un ejemplo lo tenemos en la previsión meteorológica. A lo largo de todo el mundo se realizan enormes esfuerzos por mejorar los modelos, se utilizan los ordenadores más potentes, los satélites más sofísticados, se maneja una cantidad de información extraordinaria. Sin embargo, pese a todo eso, los hombres del tiempo apenas si pueden predecir el comportamiento de la atmósfera con unos días de antelación y siempre bajo la amenza de sorpresas. ¿Por qué? Pues porque el tiempo meteorológico es un sistema caótico.

¿Es esto entonces el fin del sueño científico? ¿Tenemos que renunciar a la fórmula de Laplace? ¿Tenemos que abandonar toda esperanza y dedicarnos a llorar por las esquinas?

Puede ser una opción, pero antes de eso quizá merezca la pena echarle un vistazo más de cerca a la función logística e intentar averiguar por qué se comportar tan caóticamente. A fin de cuentas, tras todo naufragio siempre queda algo que salvar.

Dinámica no lineal

Hemos estudiado hasta ahora dos sistemas, uno sensible a las condiciones iniciales y el otro no. En apariencia son bastante similares. ¿Qué los hace tan distintos?

Si comparamos la ecuación del primer sistema

\[p_{n+1}=k·p_n\]

con la del segundo una vez desarrollado el paréntesis

\[p_{n+1}=k·p_n-k·p_n^2\]

vemos que la diferencia es que la primera ecuación es lineal, mientras que la segunda tiene ese término cuadrático \(-k·p_n^2\) , que la hace no lineal.

Los sistemas lineales se caracterizan porque las variables aparecen solas en cada termino, a lo sumo multiplicadas por algún coeficiente. Se representan mediante una recta (de ahí lo de lineales) y son perfectamente predecibles. También podríamos decir que son aburridos. Sin embargo, en los sistemas no lineales las variables se multiplican entre sí, o se ven elevadas a exponentes distintos de uno, y su gráfica es cualquier cosa menos una recta. En nuestro ejemplo, en el segundo término aparece p_n al cuadrado. Él es causante del caos. Él es el causante de la diversión.

Entonces, ¿cualquier sistema no lineal es caótico? No necesariamente. A estas alturas de la historia, a alguien quizá le haya parecido sospechosa la elección de k = 3,9. Y lo es. Si en vez de ese valor hubiesemos escogido k = 2, la evolución de la población de bacterias para los valores iniciales 0,1 y 0,101 hubiese sido la siguiente:

Ahora sí que se ve a simple vista que no solo las dos series evolucionan en paralelo siendo por tanto el sistema insensible a las condiciones iniciales, sino que, además, ambas series alcanzan rápidamente un valor estacionario para la población: 0,5. Es decir, que para k = 2 la función logística no solo no es un sistema caótico, sino que converge rápidamente a un valor fijo. Es evidente que ese parámetro k merece un estudio más detallado.

Diagramas de telaraña

Los diagramas de telaraña consisten simplemente en representar la evolución de un sistema a partir de cierto valor inicial mostrando en una misma gráfica los distintos valores que va tomando. En la figura de la derecha, la línea roja, una parábola, corresponde a la función logística para k = 2 y p₀ = 0,1. Subiendo hasta la parábola obtenemos p₁. Después, desplazándonos en horizontal, llegamos hasta la bisectriz del primer cuadrante (así pasamos p₁ al eje horizontal) y de nuevo en vertical buscamos la parábola para obtener p₂, y así sucesivamente.

El punto donce se cortan la parábola y la bisectriz es un punto fijo del sistema, es decir, un valor para el que el sistema permanece inalterable, estacionario. La funcion logística, para cada valor de k, tiene dos puntos fijos. Su cálculo consiste en hacer que p_n+1 sea igual a p_n. La ecuación p_n+1 = k·p_n - k·p_n² se convierte entonces en p_n = k·p_n - k·p_n², que tiene dos soluciones: la trivial (si empezamos con una población cero es obvio que al transcurrir el tiempo seguiremos teniendo una población cero, a no ser que seamos creacionistas, claro) y la que tiene por expresión (k - 1)/k.

Para k = 2 el punto fijo será (2 -1)/2 = 0,5, que, como hemos visto en la tabla anterior y ahora en la gráfica, es el valor al que converge la población. A este tipo de puntos fijos se les llama, por razones obvias, atractores.

Para k = 2,9 nuestra araña logística teje una red más interesante. El hilo de seda se aproxima rápidamente al valor fijo, en este caso (2,9 - 1)/2,9, y cuando está en las proximidades empieza a rodearlo en espiral acercándose un poco más en cada iteración. Lo que está ocurriendo es que la población también converge, como en el caso k = 2, a ese valor fijo, pero más lentamente. Hay que hacer notar que la elección del valor 0,1 para la población inicial no solo es arbitrario sino que no influye para nada en el resultado a largo plazo, como se puede comnprobar en la siguiente tabla:

El lector avezado habrá intuido que si hay puntos fijos atractores también los debe de haber repulsores? Veamos la gráfica para k = 3,2: ahora el punto fijo es (3,2 - 1)/3,2 = 0,625. Si seguimos el hilo desde p₀ vemos como la población rápidamente se acerca al valor fijo, pero sin llegar a él, como antes. Y también se pone a rodearlo en espiral, como antes, pero con una diferencia fundamental: ahora lo hace hacia fuera. Sin embargo, llega un momento en que el hilo deja de dibujar nuevas líneas y remarca una y otra vez un cuadrado negro. Esto es señal de que la población está oscilando entre dos valores, en este caso 0,80 y 0,51. Dicho de otro modo: el sistema se ha vuelto periódico de periodo 2.

En la tabla tenemos los datos:

Un asunto interesante es la estabilidad. El estado de un sistema se dice estacionario cuando permanece sin cambio. En la función logística los dos estados estacionarios corresponden a sus dos puntos fijos. Ahora bien, no todos los estados estacionarios son iguales. Un lapiz situado sobre un a mesa tiene dos estados estacionarios: en equilibrio sobre su punta formando 90º con la mesa, o tumbado, formando 0º. Ambos son estacionarios, pero el primero es inestable, pues el más mínimo cambio hará que el lápiz caiga, mientras que el segudo es estable, pues incluso tras grandes perturbaciones el lápiz seguirá tumbado plácidamente.

El punto fijo 0,5 de la función logística para k = 2 es estable, porque aunque alteremos el sistema la población seguirá estabilizándose en ese valor de 0,5, como hemos visto. Sin embargo, para k = 3,2 su punto fijo 0,625 es inestable, porque en cuanto nos apartamos ligeramente de ese valor la población abandona el estado estacionario y se pone a oscilar entre los dos valores de su periodo. ¿Hemos alcanzado ya el caos? No, todavía no, porque fuera del punto fijo el sistema sigue siendo insensible a las condiciones iniciales: da igual el valor de partida, antes o después el sistema se pone a oscilar con periodo dos.

Si observamos el diagrama para k = 3,5 observamos lo que se llama duplicación del periodo. Tras unas cuantas iteraciones la población se pone a oscilar no entre dos valores, sino entre cuatro:

Recapitulando: variando los parámetros de k hemos encontrado atractores puntuales (los puntos fijos atractores), atractores de periodo dos, ahora de periodo cuatro. ¿Cómo sigue la cosa? Pues sigue con una cascada de duplicaciones que se producen para cambios cada vez más pequeños de k hasta que el sistema se vuelve loco.

Para k = 3,8 el diagrama de telaraña es el siguiente:

¿Cómo podríamos denominar a esta situación? ¿Confusión? ¿Desorden? Podría ser, aunque hay que reconocer que el término que finalmente se eligió resulta mucho más elegante: caos.

Ya está. Ya nos hemos instalado en el caos. Se acabaron las sorpresas, se acabó el orden, los periodos, los atractores... ¿Seguro? Por si acaso vamos a avanzar un poco más, tan solo hasta k = 3,831, solo por ver...

¿Donde está el caos, dónde el lío tremendo de iteraciones? Pues se fue. de pronto, sin previo aviso, el sistema se vuelve de nuevo periódico. Pero, ¿con qué periodo? Volvamos al diagrama: y veamos entre cuántos valores oscila la población. Uno, dos y tres. Sí, efectivamente, para k = 3,831 el sistema se hace periódico ¡de periodo 3!

Hemos aprendido mucho con los diagramas de telaraña, pero es evidente que se hace necesario algún modo de estudiar globalmente el comportamiento de función logística alo variar su parámetro k.

Diagrama de bifurcación

Si reunimos la información obtenida hasta ahora, diagramas y tablas de datos, se hace evidente que la aparición del caos se produce con cierto orden:

k = 2	k = 2,9	k = 3,2
k = 3,5	k = 3,8	k = 3,831

La cuestión ahora sería encontrar una forma de mostrar ese orden. Un modo sencillo es obtener una imagen del comportamiento de todas las funciones logísticas correspondientes a un cierto rango de valores de k. Mirando la última tabla de datos se ve que tras unas cuantas iteraciones la población, salvo en el caso k = 3,8, se estabiliza en distintos periodos. Esto sugiere prescindir de un cierto número de iteraciones y representar tan solo los valores obtenidos a apartir de un cierto momento.

En el diagrama siguiente el eje horizontal representa los valores del parámetro k de la función logística comprendidos en el intervalo [2, 4]. Para cada valor de k se ha iterado primero el sistema 100 veces "en vacío" para después representar las poblaciones obtenidas a partir de la iteración 101.

Colocando el cursor encima de la imagen veremos que para k = 2 solo se ha representado un valor, el correspondiente al punto fijo atractor, igual que para k = 2,9; que para k = 3,2 tenemos dos valores, los correspondientes a las dos poblaciones de su periodo; que para k = 3,5 el periodo se duplica; que para k = 3,8 tenemos un lío de mucho cuidado y, finalmente, que para k = 3,831 tenemos una ventana de orden que nos proporciona ese curioso periodo tres.

El nombre de diagrama de bifurcación tiene un sentido evidente, pues muestra como, a medida que aumentamos el valor del parámetro k los valores atractores de la función logística se bifurcan para pasar de un punto fijo a un perido 2, luego 4, luego 8 y así sucesivamente. También se ve cómo la bifurcación se produce cada vez más rápidamente, a un ritmo geométrico, hasta llegar al caos, que aparece ahora como el medio de meter infinitas bifurcaciones en un espacio finito.

Tres cuestiones interesantes acerca del diagrama de bifurcación son su autosimilitud, las ventanas de orden y el factor de escala. La autosimilitud es la propiedad que tienen aquellas figuras que se parecen a sí mismas a distintas escalas, y es una de las características más sobresalientes de las fractales. Para convencerse de la autosimilitud del diagrama basta ver la ampliación del "ojo" superior correspondiente a k = 3,5 que se muestra a la derecha.

Las ventanas de orden son esas franjas blancas verticales donde el caos desaparece durante un breve intervalo y la función vuelve a comportarse periódicamente, aunque ahora con periodos ternarios. Observese que la ampliación muestra un patrón de ventanas muy parecido al del diagrama inicial.

El factor de escala indica cada cuánto se produce una bifurcación. Vemos en el diagrama que las bifurcaciones aparecen cada vez más rápidamente. Una pregunta interesante es si este proceso sigue algún ritmo preciso. Esto es que lo que se preguntó Mitchell Feigenbaum, y para hallar la respuesta calculó el valor de los intervalos entre bifurcaciones y después los cocientes entre dichos intervalos. Todos los cocientes dieron el mismo resultado: 4,699. Pero no quedó ahí la cosa, sino que después probó, en vez de con la función logística, con la función x_n+1 = k·sen x_n. Resultado: 4,699. Hoy sabemos que este valor aparece en todo sistema que experimente un proceso de bifurcación del periodo. Este valor, conocido como constante de Feigenbaum, es el ritmo del caos.

Un caos con ritmo. Genial. A lo mejor también tiene forma.

Atractores extraños

En general, un atractor es el estado en el que un sistema dinámico se estabiliza a largo plazo.Ya hemos visto atractores: esos puntos a los que convergen las poblaciones de la función logística lo son. También lo son los grupos de valores entre los que la población oscila periódicamente. Los primeros nos hablan de sistemas estacionarios, inmóviles. Los segundos, de sistemas periódicos que recorren incansablemente un número finito de estados. Son interesantes porque permite realizar predicciones acerca de dónde estará el sistema en un momento determinado, pero resultan tremendamente aburridos, la verdad. Afortunadamente hay otros tipos de atractores: a estos, en lo que se trata de una evidente confesión de perplejidad, se les llamó atractores extraños.

El ejemplo más espectacular es el de las formas fractales, y entre las fractales la más espectacular es el conjunto de Mandelbrot. Este conjunto, tal y como se explica en el laboratorio, se obtiene como representación del sistema dinámico descrito por la ecuación z_n+1 = z_n² + c, que viene a ser una versión de nuestra función logística pero para números complejos. Nos encontramos de nuevo con un sistema determinista que es, sin embargo, impredecible, pues no hay ningún algoritmo que permita decidir a priori si un punto del plano complejo pertenece al conjunto o no: solo lo podemos saber iterando. Y basta que nos desplacemos un poco para que la situación cambie. Es decir, caos, puro caos, aunque se trate de un caos con una estructura extraordinaria, como se puede comprobar ampliando la imagen de la derecha, apenas un pequeño fragmento del conjunto de Mandelbrot.

Pero hablando de atractores extraños hay uno que no se puede pasar por alto. hablar de él va a servir para temrinar este rápido paseo por algunas de las ideas del caos matemático, y para ello vamos al principio.

Una mariposa agita sus alas

Estamos en 1963, año en que el meteorólogo Edward Lorenz, del MIT, publica un artículo titulado Deteministic Nonperiodic Flow. Lorenz estaba estudiando las corrientes de convección producidas por aire caliente. Tras diversas simplificaciones había llegado a un sistema de ecuaciones diferenciales no lineales que describían la variación a lo largo del tiempo de tres variables. Es el siguiente:

\[\begin{array}{l} \dfrac{dx}{dt}=-10x+10y\\\dfrac{dy}{dt}=28x-y-xz\\\dfrac{dz}{dt}=-\dfrac{8}{3}z+xy\end{array}\]

El propósito de Lorenz, como el de todo buen meteorólogo, era encontrar comportamientos periódicos que permitiesen realizar predicciones. Para ello estudió la periodicidad y estabilidad del sistema, y vio que en ocasiones se producían unas oscilaciones de apariencia periódica que, sin embargo, poco a poco, iban creciendo hasta hacerse caóticas.

Un buen día Lorenz puso a trabajar a su ordenador para resolver el sistema para ciertos valores iniciales. Cuando interrumpió el proceso decidió que quería ver que pasaba con él cuando hubiese transcurrido algo más de tiempo. Pero en vez de empezar los cálculos desde el principio (su ordenador realizaba una iteración por segundo) introdujo como datos iniciales los que había obtenido a la mitad de la ejecución anterior. Esta operación le serviría para comprobar los datos obtenidos pero ahorrándose algo de tiempo. Cuando estudió la segunda ejecución descubrió que los valores obtenidos en ambas pruebas eran muy similares al principio pero que luego divergían.

En un primer momento pensó que se trataba de un error, pero tras revisarlo todo meticulosamente se dio cuenta de lo que había ocurrido: el ordenador trabajaba con seis cifras decimales, pero la impresora solo mostraba tres, de modo que si el valor calculado había sido 0,506127, Lorenz solo vio 0,506, y este fue el valor que introdujo para rearrancasr el proceso la segunda vez. Lorenz no sabía lo que era el caos. No sabía nada de sensibilidad a las condiciones iniciales. De hecho, nadie sabía aún nada de eso en aquel momento. Por eso no podía imaginar que una diferencia tan pequeña como 127 millonésimas fuese importante. Su genialidad precisamente fue darse cuenta de la importancia de lo que había encontrado.

La primera conclusión que sacó Lorenz de su descubrimiento fue negativa: los sistemas caóticos, a causa de su sensibilidad a las condiciones iniciales, son impredecibles. En concreto, aquello convertía la predicción meteorológica en una tarea poco menos que imposible.

Sin embargo, Lorenz quiso ver la órbita que resultaba de resolver numéricamente las ecuaciones de su sistema. Se llama órbita al conjunto de posiciones que va adoptando un sistema dinámico al evolucionar. Igual que llamamos órbita de un planeta al camino aproximadamente elíptico que sigue alrededor del sol, dados unos valores uniciales para x, y y z, Lorenz puso a trabajar a su ordenador para calcular las siguientes posiciones y representarlas en un gráfico. Lo que obtuvo fue algo parecido a lo siguiente:

Yo no estaba allí para verlo, pero me imagino a Lorenz esbozando una leve sonrisa: bien, no se trata de una órbita precisamente periódica, pero para ser un movimiento caótico resulta muy... ordenado.

Un viaje de ida y vuelta

Primero hicimos un viaje que nos llevó del orden al caos cuando descubrimos que reglas sencillas son capaces de generar comportamientos tan complejos que se vuelven impredecibles. Sin embargo, cuando aún no nos habíamos recuperado del estupor inicial, empezamos a encontrar que ese caos encierra ciertas parcelas de orden: atractores, periodos, autosimilitud, hasta un ritmo constante. En definitiva, vimos que a diferencia de los sistema aleatorios, los sistemas caóticos poseen estructura. Y también belleza, la increíble belleza de sus atractores, las fractales. Hoy en día la teoría de la complejidad ha emprendido de alguna manera el camino de vuelta, el que va del caos al orden, y se dedica a buscar la sencillez que subyace a los sistemas complejos. Y lo que ha encontrado es fascinante: el caos da tanta libertad que nada se organiza ni perdura; por su parte, el orden es tan rígido que no permite que nada interesante ocurra. Por eso la complejidad emerge justo en la frontera entre el orden y el caos.

Termino con una imágen que he obtenido con un programa escrito en Python. Se puede ampliar.

Queda diversión para rato.