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Intervalos de confianza para la media muestral
Matemáticas II CCSS > Probabilidad y estadística
11º aniversario
 

Estimación de parámetros

  1. Un estimador es una función de la muestra que nos permite aproximar un parámetro poblacional desconocido.
  2. Un estimador se dice puntual si, dada una muestra, le asigna un único valor.
    • Un ejemplo de estimador puntual es la media muestral.
  3. Intervalo de confianza: intervalo que contiene a la media con una cierta probabilidad \(1-\alpha\).
    • A \(1-\alpha\) se le llama nivel de confianza. A \(\alpha\) se le llama nivel de significación.
    • El radio del intervalo de confianza es el error máximo admisible, E, que es el error máximo que podemos cometer si tomamos el centro del intervalo como estimación del parámetro desconocido.

Intervalo de confianza para la media muestral

  • Dada una muestra \({x_1, x_2,...,x_n}\) de una población que sigue una distribución normal de media desconocida, un estimador puntual de dicha media es la media muestral.
  • Un intervalo de confianza para la media poblacional de una distribución normal con desviación típica \(sigma\) con un nivel de confianza \(1-\alpha\) pra una muestra de tamaño n es: \[IC=\left(\overline x -z_{\frac{\alpha}{2}} \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}},\overline x +z_{\frac{\alpha}{2}} \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)\]

Error máximo admisible y tamaño de la muestra

  • El error máximo admisible en la estimación de la media poblacional, utilizando un intervalo de confianza para la media con un nivel de confianza \(1-\alpha\), es su radio: \(E=z_{\frac{\alpha}{2}} \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\)
    • Cuanto mayor sea el tamaño de la muestra, \(n\), menor será el error cometido.
    • Cuanto mayor sea \(1-\alpha\), mayor será \(z_{\frac{\alpha}{2}}\) y, por tanto, mayor será también el error.
  • Fijados el error máximo admisible y el nivel de confianza, se puede calcular el tamaño mínimo de la muestra. Basta despejar de \(E=z_{\frac{\alpha}{2}} \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\) para obtener la fórmula: \(n=\left(\dfrac{z_{\frac{\alpha}{2}}\sigma}{E}\right)^2\)

Resumen

  • Valor crítico de la disribución normal: \(z_{\frac{\alpha}{2}}\)
  • Error admisible: \(E=z_{\frac{\alpha}{2}} \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\)
  • Intervalo de confianza: IC=\((\overline x -E,\overline x +E)\)

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Alberto Rodriguez Santos
Desde 11-11-2011
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