Probabilidad

Combinatoria

• Variaciones sin repetición: \(V_{n,m}=\dfrac{n!}{(n-m)!}\)
• Variaciones con repetición:  \(VR_{n,m}=n^m\)
• Permutaciones: \(P_n=n!\)
• Combinaciones: \(C_{n,m}=\dfrac{n!}{m!·(n-m)!}\)

Experimentos aleatorios

• Aleatorio: el que depende del azar. Lo contrario es determinista.
• Espacio muestral: conjunto de los posibles resultados de un experimento.
• Suceso elemental: cada resultado del espacio muestral.
• Suceso compuesto: el formado por dos o más sucesos elementales.
• Si dos sucesos pueden ocurrir simultáneamente se dicen compatibles y si no, incompatibles.
• Suceso seguro (E): el que ocurre siempre.
• Suceso imposible (Ø): el que no ocurre nunca.
• Diagrama de árbol: técnica para calcular el espacio muestral.

Operaciones con sucesos

• Unión de sucesos: \(A \cup B\)
• Intersección de sucesos: \(A \cap B\)
  • Sucesos incompatibles: \(A \cap B=\emptyset\)
• Suceso contrario o complementario: \(\overline A\)
  • Obviamente: \(\overline{\overline A}=A\)
• Diferencia de dos sucesos (los resultados de A que no son de B):  \(A-B=A \cap \overline B\)
• Leyes de Morgan:
• \(\overline{A \cup B}=\overline A \cap \overline B\)
• \(\overline{A \cap B}=\overline A \cup \overline B\)

Probabilidad de un suceso

• Probabilidad: función entre 0 y 1 que mide la facilidad de que ocurra dicho suceso.

Regla de Laplace

• Experimento regular: aquel en el que todos los sucesos elementales tienen la misma probabilidad.
• En un experimento regular, \(P(A)=\dfrac{casos\ favorables\ de\ A}{casos\ posibles}\)

Frecuencia y probabilidad

• Ley de los grandes números: la probabilidad también se puede entender como el número al que tienden las frecuencias relativas al repetir un experimento aleatorio.

Propiedades de la probabilidad

• \(0 \le P(A) \le 1\)
• \(P(E) = 1\)
• \(P(\emptyset) = 0\)
• \(P(A)= 1 - P(\overline A)\)
• \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B )\)
  • Si A y B son incompatibles, \(P(A \cap B)=P(\emptyset)=0\) por lo que \(P(A \cup B) = P(A) + P(B)\)
• \(P(A-B)=P(A∩\overline {B})=P(A)-P(A∩B)\)

Probabilidad condicionada

• \(P(B/A)\) = probabilidad de B condicionada a A = probabilidad de que ocurra B sabiendo que ha ocurrido A.
• \(P(B/A) =\dfrac{casos\ de\ A \cap B}{casos\ de\ A}\)  
• Regla del producto: \(P(A\cap B)=P(A)·P(B/A) = P(B)·P(A/B)\)
  • Si los sucesos A y B son independientes se da que \(P(B/A) = P(B)\), por lo que \(P(A\cap B) = P(A)·P(B)\)

Tablas de contingencia

• Tablas de doble entrada apara agrupar los datos de sucesos compuestos.

Teorema de la probabilidad total

• Si tenemos una serie de sucesos A1, A2, … An tales que
• son incompatibles (intersección vacía)
• su unión es el espacio muestral

entonces:  \(P(B)=P(B/A_1)P(A_1)+P(B/A_2)P(A_2)+...+P(B/A_n)P(A_n)\)

• Demostración:
  Se expresa B como unión de los sucesos \(A_i \cap B\).

Teorema de Bayes

• Si tenemos una serie de sucesos A1, A2, … An tales que
• son incompatibles (intersección vacía)
• su unión es el espacio muestral

Sabiendo que ha ocurrido un suceso B, se tiene
entonces: \(P(A_i/B)=\dfrac{P(B/A_i)P(A_i)}{P(B)}=\dfrac{P(B/A_i)P(A_i)}{P(B/A_1)P(A_1)+P(B/A_2)P(A_2)+...+P(B/A_n)P(A_n)}\)

• Demostración:
  En \(P(A_i/B)=\dfrac{P(A_i \cap B)}{P(B)}\) se aplica la regla del producto en el numerador y el teorema de la probabilidad total en el denominador.