Probabilidad
Combinatoria
- Variaciones sin repetición: \(V_{n,m}=\dfrac{n!}{(n-m)!}\)
- Variaciones con repetición: \(VR_{n,m}=n^m\)
- Permutaciones: \(P_n=n!\)
- Combinaciones: \(C_{n,m}=\dfrac{n!}{m!·(n-m)!}\)
Experimentos aleatorios
- Aleatorio: el que depende del azar. Lo contrario es determinista.
- Espacio muestral: conjunto de los posibles resultados de un experimento.
- Suceso elemental: cada resultado del espacio muestral.
- Suceso compuesto: el formado por dos o más sucesos elementales.
- Si dos sucesos pueden ocurrir simultáneamente se dicen compatibles y si no, incompatibles.
- Suceso seguro (E): el que ocurre siempre.
- Suceso imposible (Ø): el que no ocurre nunca.
- Diagrama de árbol: técnica para calcular el espacio muestral.
Operaciones con sucesos
- Unión de sucesos: \(A \cup B\)
- Intersección de sucesos: \(A \cap B\)
- Sucesos incompatibles: \(A \cap B=\emptyset\)
- Suceso contrario o complementario: \(\overline A\)
- Obviamente: \(\overline{\overline A}=A\)
- Diferencia de dos sucesos (los resultados de A que no son de B): \(A-B=A \cap \overline B\)
- Leyes de Morgan:
- \(\overline{A \cup B}=\overline A \cap \overline B\)
- \(\overline{A \cap B}=\overline A \cup \overline B\)
Probabilidad de un suceso
- Probabilidad: función entre 0 y 1 que mide la facilidad de que ocurra dicho suceso.
Regla de Laplace
- Experimento regular: aquel en el que todos los sucesos elementales tienen la misma probabilidad.
- En un experimento regular, \(P(A)=\dfrac{casos\ favorables\ de\ A}{casos\ posibles}\)
Frecuencia y probabilidad
- Ley de los grandes números: la probabilidad también se puede entender como el número al que tienden las frecuencias relativas al repetir un experimento aleatorio.
Propiedades de la probabilidad
- \(0 \le P(A) \le 1\)
- \(P(E) = 1\)
- \(P(\emptyset) = 0\)
- \(P(A)= 1 - P(\overline A)\)
- \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B )\)
- Si A y B son incompatibles, \(P(A \cap B)=P(\emptyset)=0\) por lo que \(P(A \cup B) = P(A) + P(B)\)
- \(P(A-B)=P(A∩\overline {B})=P(A)-P(A∩B)\)
Probabilidad condicionada
- \(P(B/A)\) = probabilidad de B condicionada a A = probabilidad de que ocurra B sabiendo que ha ocurrido A.
- \(P(B/A) =\dfrac{casos\ de\ A \cap B}{casos\ de\ A}\)
- Regla del producto: \(P(A\cap B)=P(A)·P(B/A) = P(B)·P(A/B)\)
- Si los sucesos A y B son independientes se da que \(P(B/A) = P(B)\), por lo que \(P(A\cap B) = P(A)·P(B)\)
Tablas de contingencia
- Tablas de doble entrada apara agrupar los datos de sucesos compuestos.
Teorema de la probabilidad total
- Si tenemos una serie de sucesos A1, A2, … An tales que
- son incompatibles (intersección vacía)
- su unión es el espacio muestral
entonces: \(P(B)=P(B/A_1)P(A_1)+P(B/A_2)P(A_2)+...+P(B/A_n)P(A_n)\)
- Demostración:
Se expresa B como unión de los sucesos \(A_i \cap B\).
Teorema de Bayes
- Si tenemos una serie de sucesos A1, A2, … An tales que
- son incompatibles (intersección vacía)
- su unión es el espacio muestral
Sabiendo que ha ocurrido un suceso B, se tiene
entonces: \(P(A_i/B)=\dfrac{P(B/A_i)P(A_i)}{P(B)}=\dfrac{P(B/A_i)P(A_i)}{P(B/A_1)P(A_1)+P(B/A_2)P(A_2)+...+P(B/A_n)P(A_n)}\)
- Demostración:
En \(P(A_i/B)=\dfrac{P(A_i \cap B)}{P(B)}\) se aplica la regla del producto en el numerador y el teorema de la probabilidad total en el denominador.
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