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Matemáticas II - Probabilidad
     

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Índice de temas de probabilidad

12. Probabilidad

13. Distribuciones binomial y normal.


 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Tema 13 Probabilidad

  • Experimentos aleatorios
    • Aleatorio: el que depende del azar. Lo contrario es determinista
    • Espacio muestral (E): conjunto de los posibles resultados de un experimento.
    • Diagrama de árbol: técnica para calcular el espacio muestral.
  • Combinatoria
    • Variaciones sin repetición: \(V_{n,m}=\dfrac{n!}{(n-m)!}\)
    • Variaciones con repetición:  \(VR_{n,m}=n^m\)
    • Permutaciones: \(P_n=n!\)
    • Combinaciones: \(C_{n,m}=\dfrac{n!}{m!·(n-m)!}\)
  • Sucesos.
    • Suceso elemental: cada resultado del espacio muestral.
    • Suceso compuesto: el formado por dos o más sucesos elementales.
    • Si dos sucesos pueden ocurrir simultáneamente se dicen compatibles y si no, incompatibles.
    • Suceso seguro (E): el que ocurre siempre.
    • Suceso imposible (Ø): el que no ocurre nunca.
  • Operaciones con sucesos
    • Unión de sucesos: \(A \cup B\)
    • Intersección de sucesos: \(A \cap B\)
      • Sucesos incompatibles: \(A \cap B=\emptyset\)
    • Suceso contrario o complementario: \(\overline A\)
      • Obviamente: \(\overline{\overline A}=A\)
    • Diferencia de dos sucesos (los resultados de A que no son de B):  \(A-B=A \cap \overline B\)
    • Leyes de Morgan:
      • \(\overline{A \cup B}=\overline A \cap \overline B\)
      • \(\overline{A \cap B}=\overline A \cup \overline B\)
  • Probabilidad de un suceso
    • Probabilidad: función entre 0 y 1 que mide la facilidad de que ocurra dicho suceso.
      • Regla de Laplace
        • Experimento regular: aquel en el que todos los sucesos elementales tienen la misma probabilidad.
        • En un experimento regular, \(P(A)=\dfrac{casos\ favorables\ de\ A}{casos\ posibles}\)
    • Frecuencia y probabilidad
      • Frecuencia relativa: cociente entre
      • en el número de veces que se da el suceso y el número de experimentos.
      • Ley de los grandes números: la probabilidad se puede entender como el número al que tienden las frecuencias relativas al repetir un experimento aleatorio.
  • Propiedades de la probabilidad
    • \(0 \le P(A) \le 1\)
    • \(P(E) = 1\)
    • \(P(\emptyset) = 0\)
    • \(P(A)= 1 - P(\overline A)\)
    • \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B )\)
      • Si A y B son incompatibles, \(P(A \cap B)=P(\emptyset)=0\) por lo que \(P(A \cup B) = P(A) + P(B)\)
    • \(P(A-B)=P(A∩\overline {B})=P(A)-P(A∩B)\)
  • Probabilidad condicionada
    • \(P(B/A)\) = probabilidad de B condicionada a A = probabilidad de que ocurra B sabiendo que ha ocurrido A.
    • \(P(B/A) =\dfrac{casos\ de\ A \cap B}{casos\ de\ A}\)  
    • Regla del producto: \(P(A\cap B)=P(A)·P(B/A) = P(B)·P(A/B)\)
      • Sucesos independientes
        • Ay B son independientes si \(P(B/A) = P(B)\)
        • Si A y B son independientes, \(P(A\cap B) = P(A)·P(B)\)
    • Tablas de contingencia
      • Tablas de doble entradaapara agrupar los datos de sucesos compuestos
  • Teorema de la probabilidad total
    • Si tenemos una serie de sucesos \(A_1, A_2, … A_n\) tales que
      • son incompatibles (intersección vacía)
      • su unión es el espacio muestral

    entonces:  \(P(B)=P(B/A_1)P(A_1)+P(B/A_2)P(A_2)+...+P(B/A_n)P(A_n)\)

    • Demostración: se expresa B como unión de los sucesos \(A_i \cap B\).
  • Teorema de Bayes
    • Si tenemos una serie de sucesos \(A_1, A_2, … A_n\) tales que
      • son incompatibles (intersección vacía)
      • su unión es el espacio muestral
      • y se sabe que ha ocurrido un suceso B,

      se tiene entonces: \(P(A_i/B)=\dfrac{P(B/A_i)P(A_i)}{P(B)}=\dfrac{P(B/A_i)P(A_i)}{P(B/A_1)P(A_1)+P(B/A_2)P(A_2)+...+P(B/A_n)P(A_n)}\)

    • Demostración:
      En \(P(A_i/B)=\dfrac{P(A_i \cap B)}{P(B)}\) se aplica la regla del producto en el numerador y el teorema de la probabilidad total en el denominador.
  • Cálculos:
    • Cálculo de probabilidades utilizando combinatoria.
    • Cálculo del número total de sucesos.
    • Cálculo experimental de probabilidades.
    • Probabilidades con y sin reemplazamiento.

 

EJERCICIOS

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Resumen fórmulas de probabilidad

14 Distribuciones binomial y normal

  • Variables aleatorias: función que a cada suceso elemental de un experimento aleatorio se le hace corresponder un número.
    • Tipos:
      • Discretas: número finito de valores.
      • Continuas: número infinito de valores.
    • Parámetros
      • Media: \(\mu=\sum_{i=1}^{n}p_i·x_i\)
      • Varianza: \(\sigma^2=\sum_{i=1}^{n}p_i·(x_i-\mu)^2\)
      • Desviación típica: \(\sigma=\sqrt{\sum_{i=1}^{n}p_i·(x_i-\mu)^2}\)
    • Distribución de probabilidad: formas de asignar la probabilidad a los valores de una variable aleatoria.
  • Distribuciones discretas:
    • Formas de determinar una distribución discreta.
      • Función de probabilidad:
        • \(f(x_i)=P(X=x_i)\)
        • Cumple:
          • \(f(x_i) \ge 0\)
          • \(\sum_{i=1}^{n}f(x_i)=1\)
      • Función de distribución
        • \(F(x_i)=P(X \le x_i)=\sum_{j=1}^{i}f(x_j)\)
        • Es discontinua de salto finito.
  • Distribución binomial:
    • Se escribe \(X \equiv B(n,p)\)
    • Cumple:
      • La variable cuenta el número de veces que ocurre un suceso A cuya probabilidad es p al realizar el experimento n veces.
      • Cada realización del experimento es independiente.
      • Función de probabilidad: \(f(i)=P(X=i)=\binom{n}{i}p^i(1-p)^{n-i}\)
    • Uso de tablas.
    • Ejemplo.
  • Distribuciones continuas:
    • Formas de determinar una distribución continua.
      • Función de densidad:
        • Cumple:
          • \(f(x) \ge 0 \forall x\)
          • \(\int_{-\infty}^{\infty}f(x)dx=1\)
      • Función de distribución:
        • \(F(x)=P(X \le x)= \int_{-\infty}^{x}f(x)dx\)
        • Cumple:
          • Im F = [0, 1]
          • Es creciente.
  • Distribución normal
    • Se escribe \(X \equiv N(\mu,\sigma)\)
    • Cumple:
      • \(\mu\): media de la variable. \(\sigma\): desviación típica.
      • Su función de densidad es simétrica respecto de la media.
    • Gráfica.
    • La distribución \(Z \equiv N(0,1)\)
    • Tipificación: \(x\rightarrow \dfrac{x-\mu}{\sigma}\)
  • Aproximación de la binomial:
    • Para n suficientemente grande la binomial se puede aproximar por la normal haciendo:
      • \(\mu=np\)
      • \(\sigma=\sqrt{np(1-p)}\)\)
    • Se considera buena la aproximación cuando se cumple: \(np>5\) y \(n(1-p)>5\)
    • Ejemplos.

Tabla binomial

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Tabla normal

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Ejercicios

 

 

 
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Alberto Rodriguez Santos
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