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Matemáticas II - Análisis
     

Índice de temas de análisis

7. Límites y continuidad

8. Derivadas

9. Aplicaciones de la derivada

10. Representación de funciones

11. Integrales indefinidas

12. Integrales definidas


 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

EJERCICIOS

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Listado de ejercicios tipo para los temas 7, 8 y 9

Tema 7 Límites y continuidad

  • Limites
    • Límite de una función en el infinito.
      • Límite finito de una función.
      • Límite infinito de una función.
      • Operaciones con límites.
      • Indeterminaciones: \(\infty-\infty\); \(0·\infty\); \(\dfrac{0}{0}\); \(\dfrac{\infty}{\infty}\); \(1^\infty\); \(\infty^0\); \(0^0\)
      • Cálculo de límites.
        • Potencias.
        • Exponenciales.
        • Funciones racionales.
      • Resolución de algunas indeterminaciones
        • \(\dfrac{\infty}{\infty}\)
        • \(\infty-\infty\)
        • \(1^\infty\).
    • Límite de una función en un punto
      • Limites laterales.
      • Límite de una función en un punto.
      • Indeterminaciones \(\dfrac{0}{0}\)
  • Continuidad
    • Continuidad de una función en un punto.
    • Continuidad de una función en un intervalo.
    • Continuidad de las funciones típicas.
      • Polinómicas.
      • Racionales.
      • Radicales.
      • Exponenciales.
      • Logarítmicas.
      • Trigonométricas.
    • Continuidad de funciones obtenidas operando funciones continuas.
    • Continuidad de funciones definidas a trozos. Ejemplo.
    • Teoremas de continuidad
      • Bolzano.
        • Existencia de solución de una ecuación, raíz de un polinomio o cero de una función. Ejemplo.
        • Determinar se dos funciones se cortan. Ejemplo.
        • Cálculo de una aproximación de la solución.
      • Darboux o loos valores intermedios.
        • Determinar si una función toma un valor determinado. Ejemplo.
      • Weierstrass
        • Deficición de máximos y mínimos relativos.
      • Interpretaciòn gráfica de los teoremas de continuidad.
  • Cálculo de parámetros.
    • Para que exista el límite.
    • Que resuelva la indeterminación.
    • Para que una función sea continua.
  • Ampliación: El número e

 

Definiciones de límites \(\epsilon - \delta\).

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Resumen cálculo de límites de funciones.

Tema 8 Derivadas

  • Tasa de varación media (TVM)
  • Concepto de derivada
  • Definición de derivada en un punto
  • Derivadas laterales
    • \(f'(a^+)=\displaystyle\lim_{h \to 0^+}{\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}}\)
    • \(f'(a^-)=\displaystyle\lim_{h \to 0^-}{\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}}\)
    • f es derivable en x = a si ambas derivadas laterales existen y son iguales.
  • Derivabilidad y continuidad
  • Función derivada: se nota \(f': \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\) y se define como \(f'(x)=\displaystyle\lim_{h \to 0}{\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}}\).
    • Derivadas sucesivas: \(f'; f''; f'''; f^{iv)}\)
  • Cálculo de derivadas:
    • Derivadas de operaciones de funciones.
    • Derivadas de funciones elementales
    • Técnicas:
      • Regla de la cadena: ejemplos.
      • Derivación logarítmica: derivada de \(f(x)^{g(x)}\)
      • Derivada de la función implícita.
      • Derivada de la función inversa: ejemplo.

 


Leibniz


Newton

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Notas históricas

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Tabla de derivadas

Tema 9 Aplicaciones de la derivada

  • Monotonía
    • Crecimiento y decrecimiento.
      • Signo de la primera derivada.
      • Cálculo de los intervalos de monotonía.
    • Máximos y mínimos relativos.
      • Definición.
      • Derivada cero.
      • Cálculo:
        • Estudiando la monotonía.
        • Signo de la derivada segunda.
  • Curvatura
    • ¿Qué es convexo y qué concavo?
    • Concavidad y convexidad.
      • Signo de la segunda derivada.
      • Cálculo de los intervalos de curvatura.
    • Puntos de inflexión.
      • Definición.
      • Segunda derivada cero.
      • Cálculo.
        • Estudiando la curvatura.
        • Tercera derivada distinta de cero.
  • Optimización de funciones.
  • Teoremas
    • Teorema de Rolle: sea una función f(x) continua en [a, b], derivable en (a, b) y tal que f(a) = f(b), entonces existe c en (a, b) tal que f’(c) = 0.
    • Teorema del valor medio (o de Lagrange de los incrementos finitos): sea una función f(x) continua en [a, b] y derivable en (a, b), entonces existe c en (a, b) tal que \[f’(c)=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}\]
    • Teorema del valor medio generalizado: sean f(x) y g(x) son dos funciones continuas en [a, b] y derivables en (a, b), entonces existe c en (a, b) tal que \[\dfrac{f’(c)}{g’(c)}=\dfrac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}\].
      • Demostración.
    • Regla de L’Hôpital:
      Ssean f(x) y g(x) dos funciones derivables en \((x_0-h, x_0+h)\) tales que los límites \(\displaystyle\lim_{x \to x_0}{f(x)} \text{ y } \displaystyle\lim_{x \to x_0}{g(x)}\text{ son ambos } 0\text{ o } \pm\infty \).
      Si existe \(\displaystyle\lim_{x \to x_0}{\dfrac{f'(x)}{g'(x)}}\) entonces \(\displaystyle\lim_{x \to x_0}{\dfrac{f(x)}{g(x)}}=\lim_{x \to x_0}{\dfrac{f'(x)}{g'(x)}}\)
      Nota: \(x_o\text { puede ser un número o } \pm \infty\)
      • Resolución de indeterminaciones aplicando la regla de L’Hôpital.
        • \(\dfrac{0}{0}; \dfrac{\infty}{\infty}\): aplicación directa.
        • \(0·\infty: f·g=\dfrac{f}{\frac{1}{g}}\)
        • \(\infty-\infty\): se calcula la diferencia (si se puede).
        • \(1^\infty;\infty^0,0^0\): se toman logaritmos.
  • Cálculos
    • Determinación de una función conocidos sus extremos relativos y un punto.
    • Obtención de un parámetro para que una función sea convexa.
    • Representar la función derivada a partir de la gráfica de la función (monotonía y curvatura).
    • Demostración de que dos funciones solo se cortan en un punto.
    • Demostraciòn de las unicidad de solución.
    • Obtención de parámetros para que se pueda aplicar un teorema.
    • Obtención de un parámetro para que un límite tenga un valor determinado.

 



Derivada, monotonía y curvatura

Tema 10 Representación de funciones

  • Estudio de una función
    • Dominio y recorrido.
      • Definición.
      • Cálculo de dominios:
        • Funciones irracionales.
        • Funciones racionales.
        • Funciones a trozos.
    • Puntos de cortes con los ejes.
    • Signo de una función.
    • Simetrías: par e impar. Periodicidad.
    • Ramas infinitas y asíntotas.
      • Ramas infinitas.
      • Asíntotas verticales.
        • Cálculo.
        • La gráfica de una función no puede cortar a las asíntotas verticales.
      • Asíntotas horizontales.
        • Cálculo.
        • Una función a lo sumo puede tener dos asíntotas horizontales.
        • Una recta puede ser asíntota horizontal por un lado pero no por el otro
        • La gráfica de una función puede cortar a las asíntotas horizontales.
      • Asíntotas verticales.
        • Cálculo.
        • Por cada lado, las asíntotas horizontales y oblicuas son excluyentes.
        • Una función a lo sumo puede tener dos asíntotas oblicuas.
        • Una recta puede ser asíntota oblicua por un lado pero no por el otro
        • La gráfica de una función puede cortar a las asíntotas oblicuas.
      • Ramas parabólicas.
        • Son las ramas infinitas que no son asíntotas y que en el infinito tienden a \(\pm \infty\).
    • Información de la derivada.
      • Monotonía.
        • Crecimiento y decrecimiento.
        • Extremos relativos: Máximos y mínimos.
      • Curvatura.
        • Concavidad y convexidad.
        • Punto de inflexión.
  • Funciones elementales
  • Representación de funciones
  • Cálculos:
    • Cálculo de parámetros a partir de las asíntotas.
    • Cálculo de parámetros a partir de sus extremos.
    • Monotonía y curvatura a partir de la gráfica de la derivada.
    • Representar una gráfica a partir de ciertas condiciones.

 

 

Tema 11 Integrales indefinidas

  • Función primitiva.
    • Definición: F(c) es primitiva de f(x) si \(F’(x)=f(x)\).
    • Dos primitivas de una misma función se diferencian en una constante.
  • Integral (indefinida) de una función.
    • Es el conjunto de sus primitivas.
    • Constante de integración.
    • La integración es el proceso inverso a la derivación: para comprobar una integral, se deriva.
  • Propiedades de la integral:
    • \(\displaystyle\int [f(x) \pm g(x)]\,dx =\int f(x)\,dx \pm \int g(x)\,dx\)
    • \(\displaystyle \int kf(x) \,dx =k\int f(x)\,dx\)
  • Integración de funciones elementales (Integrales inmediatas).
    • Función constante
    • Funciones potenciales.
      • Ajuste del factor numérico.
    • Tipo logarítmico.
      • Se toman valores absolutos.
    • Funciones exponenciales.
    • Funciones trigonométricas.
    • Funciones tipo arco.
  • Métodos de integración.
  • Cálculos
    • Calcular una función conocidas su derivada y uno de sus puntos.
    • Calcular una primitiva con una condición.
    • Calcular la integral del logaritmo por partes.

 

 

Tema 12 Integrales definidas

  • Área bajo una curva.
    • Partición de un intervalo.
    • Partición más fina.
    • Sumas inferiores y superiores.
    • Límite de las sumas inferiores y superiores.
  • Integral definida.
    • Intervalo de integración. Límites de integración.
    • \(\displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\,dx=\lim_{n \to \infty}{s_n}=\lim_{n \to \infty}{S_n}\)
  • Propiedades de la integral definida.
    • \(\displaystyle\int_{a}^{a} f(x)\,dx=0\)
    • \(f(x) \ge 0 \Rightarrow \displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\,dx \ge 0\)
    • \( \displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\,dx =\int_{a}^{c} f(x)\,dx+\int_{c}^{b} f(x)\,dx \)
    • \(\displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\,dx =-\int_{b}^{a} f(x)\,dx\)
    • \(\displaystyle\int_{a}^{b} [f(x) \pm g(x)]\,dx =\int_{a}^{b} f(x)\,dx \pm \int_{a}^{b} g(x)\,dx\)
    • \(\displaystyle \int_{a}^{b} kf(x) \,dx =k\int_{a}^{b} f(x)\,dx\)
    • Si \(\forall x \in [a,b]\ f(x) \le g(x) \Rightarrow \displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \,dx \le \int_{a}^{b} g(x)\,dx\)
  • Teoremas
  • Cálculos
    • Integral definida por cambio de variable.
    • Cálculo del área encerrada por una curva.
    • Cálculo del área comprendida por dos curvas.
    • Integrales definidas de funciones con valor absoluto.
    • Cálculo del área limitada por una función definida a trozos.
    • Cálculo de áreas con intervalos de integración infinitos.

 

 

Esquema

*

Calculadora de
integrales definidas

 

 
 
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Alberto Rodriguez Santos
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