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Matemáticas II - Álgebra
     

Índice de temas de álgebra

1. Matrices

2. Determinantes

3. Sistemas de ecuaciones

ESQUEMA

EJERCICIOS

 

 

 

 

 


Tema 1 Matrices

  • Definición.
    • Filas y columnas.
    • Elementos: \(a_{ij}\).
    • Dimensión.
  • Igualdad.
  • Clasificación:
    • Matriz fila.
    • Matriz columna.
    • Matriz nula o matriz cero (una por cada dimensión).
    • Matriz cuadrada. Orden.
      • Diagonal principal.
      • Tipos:
        • Triangular superior.
        • Triangular inferior.
        • Diagonal.
        • Identidad (una para cada orden).
    • Matriz rectangular.
  • Operaciones
    • Matriz transpuesta.
      • Matrices simétricas: \(A = A^t\)
      • Matrices antisimétricas: \(A = -A^t\)
        • Diagonal principal de ceros.
      • Una matriz se dice ortogonal si \(A·A^t=I\)
    • Suma.
      • Propiedades:
        • Conmutativa.
        • Asociativa.
        • Elemento neutro.
        • Elemento opuesto.
      • La resta es la suma del opuesto.
    • Producto de una matriz por un número.
    • Producto de matrices:
      • Producto una matriz fila por una matriz columna.
      • Producto de dos matrices.
        • Propiedades:
          • Asociativa.
          • Elemento neutro.
          • Distributiva.
          • En general, el producto NO es conmutativo. 
          • No siempre existe la matriz inversa
    • Primeros ejercicios de matrices.
    • Operaciones con matrices: interpretación.   
  • Rango de una matriz.
    • Combinación lineal de vectores. Dependencia lineal.
    • Filas linealmente dependientes.
    • Rango por filas y rango por columnas.
      • El rango por filas es siempre igual al rango por columnas.
      • \(rg(A)=rg(A^t\)
    • Método de Gauss: hacer ceros por debajo de la diagonal principal..
      • Intercambio de filas.
      • Multiplicar una fila por un número.
      • Sumarle a una fila una combinaciòn lineal de las demás.
  • Inversa de una matriz
    • \(\text{Una matriz A cuadrada tienen inversa si } \exists \text{ una matriz }A^{-1} / A·A^{-1}=I\)
    • \(A^{-1}·A=I\)
    • Matrices regulares o invertibles: las que tienen inversa.
    • Matrices singulares: las que no tienen inversa.
    • Una matriz de orden n tiene invesa si y solo rg(A) = n.
    • Propiedades
      • \((A^{-1})^{-1}=A\)
      • \((A·B)^{-1}=B^{-1}·A^{-1}\)
      • \((A^t)^{-1}=(A^{-1})^t\)
    • Cálculo por el método de Gauss Jordan: \((A|I) \rightarrow (I|A^{-1})\)
  • Ecuaciones matriciales
  • Cálculos:
    • Determinar matrices que cumplan cierta condición.
    • Cálculo de constantes en igualdades de matrices.
    • Potencias n-ésimas de matrices.
    • Cálculo del rango de una matriz en función de un parámetro.
    • Cálculo de la inversa de una matriz en función de un parámetro.

 

 

Calculadora para operar con matrices de orden tres.

*

Calculadora de potencias de matrices

 

 

Tema 2 Determinantes

  • Determinante.
    • Orden.
    • Fórmula de Leibniz: \(\displaystyle |A|=\sum_{\sigma \in P_n}{sgn(\sigma) \prod_{i=1}^n{ a_{i,\sigma_i}}}\) [*]
  • Determinantes de orden 2 y 3.
    • Orden 2: productos cruzados.
    • Orden 3: regla de Sarrus.
  • Propiedades:
    1. \(|A|=|A^t|\)
    2. Si se intercambian dos filas o columnas, el determinante cambia de signo.
    3. Si se multiplica una fila o una columna por un número, el determinante se multiplica por ese número.
    4. Si una matriz tiene una fila o una columna de ceros, el determinante es cero.
    5. Si a una fila o columna se le suma una combinación lineal de las demás, el determinante no varia.
    6. Si dos filas o columnas son iguales, el determinante es cero.
    7. Si una fila o columna es combinación lioneal de las demas, el determinante es cero.
    8. Los determiantes se pueden desdoblar por una fila o una columna.
    9. \(|A·B|=|A|·|B|\)
  • Cálculo del determinante de una matriz transformándola en una matriz triangular.
    • Determinante de una matriz triangular.
    • Método de triangulación.
  • Menor, menor complementario y adjunto.
    • Menor de orden k: el determinante formado por elementos de k filas y k columnas de una matriz.
    • Menor complementario de un elemento \(a_{ij}\). Se nota \(\alpha_{ij}\) y consiste en eliminar la fila i y la columna j de la matriz.
    • Adjunto de un elemento \(a_{ij}\): es la matriz \(A_{ij}=(-1)^{sg{(i+j)}}\alpha_{ij}\)
  • Desarrollo de un determinante por adjuntos: suma de los productos de los elementos de una fila o columna por sus adjuntos.
    • Cálculo de deteminantes: se hacen ceros y se aplica lo anterior.
  • Cálculo del rango de una matriz por menores.
    • El rango coincide con el orden del mayor menor no nulo.
    • Método de cálculo.
  • Cálculo de la inversa de una matriz:
    • Matriz de los adjuntos: Adj(A).
    • Matriz inversa: \(A^{-1}=\dfrac{Adj(A)^t}{|A|}\)
    • Es obvio que existe la inversa si y solo si \(|A|\neq 0\)
    • También es obvio que: \(|A^{-1}|=\dfrac{1}{|A|}\)
  • Cálculos varios:
    • Ecuaciones con determinantes.
    • Reducir un determinante a otro que se conoce.
    • Calcular el detminante de una matriz según su orden.
    • Ecuaciones matriciales.
      • AX + B = C
      • Con factor común: AX + X=B
    • Cálculos en función de un parámetro:
      • Rango.
      • Matriz regular.

 


Origen de los
determinantes

Tema 3 Sistemas de ecuaciones

  • Ecuación lineal
    • Coeficientes, término independiente.
    • Solución.
  • Sistemas de ecuaciones lineales.
    • Ecuaciones e incógnitas.
    • Coeficientes, términos independientes.
    • Solución.
    • Clasificación:
      • Incompatible.
      • Compatible.
        • Deteterminado.
        • Indeterminado.
  • Expresión matricial de un sistema de ecuaciones.
    • Matriz de los coeficientes: A.
    • Matriz de los términos independientes: B.
    • Sistema: \(A·X=B\), donde X es la matriz de las incógnitas.
    • Matriz ampliada: A*
  • Cálculo de la solución:
    • Con la inversa: dado el sistema \(A·X = B\), la solución es \(X = A^{-1}·B\)
    • Método de Gauss: conversión del sistema en otro equivalente escalonado.
      • Sobre la matriz ampliada se realizan las siguientes operaciones:
        • Intercambio de ecuaciones.
        • Multiplicación de una ecuación por un número.
        • Suma de una ecuación con una combinación lineal de otras.
      • Ejemplo.
    • Regla de Cramer: si \(|A| \neq 0\), \(x_i=\dfrac{|A_{x_i}|}{|A|}\).
      • Sistemas determinados.
      • Sistemas indeterminados
  • Discusión de sistemas de ecuaciones: clasificarlo según el número de sus soluciones.
    • Por el método de Gauss.
      • Con parámetros.
    • Teorema de Rouché-Fröbenius: un sistema \(A·X=B\) es compatible si y solo si \(rg(A)=rg(A*)\).
    • Caso particular: sistemas homogéneos.


 
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Alberto Rodriguez Santos
Desde 11-11-2011
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