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Matemáticas I - Geometría
     

 

Índice de temas


 

 

Tema 10 Trigonometría

Guion

  • Medidas de ángulos: grados y radianes.
    • Transformación grados-radianes.
  • Razones trigonométricas de un ángulo agudo: sen x, cos x, tg x.
  • Razones trigonométricas de 30º, 45º y 60º.
  • Razones de un ángulo cualquiera.
  • Relaciones entre las razones trigonométricas.
    • Calcular las razones de un ángulo conocida una de ellas.
  • Fórmulas trigonométricas.
  • Ecuaciones trigonométricas.
    • Tipo sen f(x) = k; cos f(x) = k; tg f(x) = k.
    • Factorizando: sen2x-senx=0.
    • Con solo cosenos: cos2x-cosx=0.
    • Verificación de igualdades trigonométricas: \(\dfrac{2senx}{tg 2x}=cosx-senxtgx\).
  • Resolución de triángulos rectangulos.
    • Conociendo dos lados.
    • Conociendo un ángulo y un lado.
  • Teorema del seno.
  • Teorema del coseno.
  • Resolución de triángulos cualesquiera.
    • Conociendo tres lados.
    • Conociendo dos lados y el ángulo que forman.
    • Conociendo dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos.
    • Conociendo un lado y dos ángulos.
    • Cálculo de altura, perímetro y área.
    • Cálculo del área de un poligono regular.

 

Resumen trigonometría
4º ESO.

Curiosidades musicales

Expansión decimal de Pi
para gran piano

The Pi Song

 

 

Tema 11. Vectores. Ecuaciones recta

Guion

  • Vectores.
    • Módulo, dirección y sentido. Equivalencia de vectores.
    • Paralelismo: igual dirección.
    • Operaciones: Suma, resta y multiplicación por un número, gráficamente.
    • Combinaciones lineales de vectores
      • Expresar un vector como combinación lineal de otros dos, gráficamente.
      • Dependencia e independencia lineal.
    • Bases: l.i. y generadores.
      • Dos vectores l.i. siempre son base en el plano.
      • Coordenadas respecto de la base.
      • Expresar un vector como combinación lineal de otros dos.
    • Sistemas de referencia: punto fijo y base.
      • Coordenadas de un vector a partir de los extremos.
        • Calcular un extremo conocido el otro extremo y el vector.
      • Paralelismo: proporcionalidad de coordenadas.
      • Operaciones con coordenadas.
    • Producto escalar: \(\vec{u}·\vec{v}=|\vec{u}|·|\vec{v}|·cos(\vec{u},\vec{v})\).
      • Interpretación geométrica: módulo por el módulo de la proyección (w = trabajo físico).
      • Propiedades:
        • \(\vec{u}·\vec{v}= 0 \Rightarrow perpendiculares\)
        • \(\vec{u}·\vec{u}=|\vec{u}|^2\)
        • Conmutativa.
        • Distributiva respecto de la suma.
        • \(\vec{u}·(\lambda \vec{v})=\lambda \vec{u}·\vec{v}\)
      • Producto escalar en coordenadas.
      • Aplicaciones
    • Apliaciones de los vectores.
      • Distancia entre dos puntos.
      • Punto medio de un segmento.
        • División de un segmento en partes iguales o proporcionales.
      • Punto simétrico a un punto.
      • Cálculo de perímetros.
      • Ver si tres puntos están alineados.
  • Rectas.
    • Ecuaciones de la recta.
    • Las formas de la pendiente.
      • Dados dos puntos o un vector.
      • Dado el ángulo que forma la recta con la horizontal.
      • Dada la ecuación explícota.
      • Dada la implicita.
    • Posición relativa de dos rectas.
    • Distancias y ángulos
    • Cálculo de rectas
      • Paralela a otra que pasa por un punto.
      • Paralela a otra que está acierta distancia.
      • Perpendicular a otra que pasa por un punto.
      • Forma un ángulo con otra y pasa por un punto.

 

 

 

Tema 12. Lugares geométricos. Cónicas

Guion

  • Cónicas
  • Lugares geométricos.
  • Elipse:
    • Elementos: ejes, vértices, focos, centro, excentricidad.
    • Relaciones entre sus elementos.
    • Ecuación reducida de la elipse.
      • Obtención de la ecuación reducida a partir de la desarrollada.
    • Ecuación general de la elipse de ejes paralelos a los ejes coordenados.
  • Hipérbola:
    • Elementos: ejes, vértices, focos, centro, excentricidad, asíntotas.
    • Relaciones entre sus elementos.
    • Ecuación reducida de la hipérbola.
    • Ecuación general de la parábola de ejes paralelos a los ejes coordenados.
  • Parábola:
    • Elementos: foco, directriz, eje, vértice.
    • Relaciones entre sus elementos.
    • Ecuación reducida de la parábola.
    • Ecuación general de la parábola de ejes paralelos a los ejes coordenados.
  • Circunferencia
    • Elementos: centro, radio.
    • Cálculo de la ecuación de la circunferencia:
      • Conocidos el centro y el radio: \((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\).
        • Si el centro es el origen de coordenadas, ecuaciòn reducida: \(x^2+y^2=r^2\)
      • Conocidos tres puntos.
        • Con mediatrices.
        • Con la ecuación general.
      • Conocidos dos puntos y una recta que pasa por el centro de la circunferencia.
      • Conocidos el centro y una de sus tangentes.
    • Ecuación general de la circunferencia: \(x^2+y^2+Ax+By+C=0\).
      • Obtención del centro y el radio a partir de la ecuación general.
  • Posiciones relativas
    • Posiciones relativas de dos circunferencias.
      • Cálculo de la posición conociendo centros y radios.
    • Posiciones relativas de rectas y circunferencias
      • Cálculo de la posición conociendo distancia al centro y radio.
      • Puntos de corte de una recta y una circunferencia.
    • Cálculo de posiciones relativas dependiendo de un parámetro.
  • Identificar cónica por su ecuación.
  • Cálculo de lugares geométricos.

 

Contenidos

  • Medida de un ángulo en radianes.
  • Razones trigonométricas de un ángulo cualquiera. Razones trigonométricas de los ángulos suma, diferencia de otros dos, doble y mitad. Fórmulas de transformaciones trigonométricas.
  • Teoremas. Resolución de ecuaciones trigonométricas sencillas.
  • Resolución de triángulos. Resolución de problemas geométricos diversos.
  • Vectores libres en el plano. Operaciones geométricas.
  • Producto escalar. Módulo de un vector. Ángulo de dos vectores.
  • Bases ortogonales y ortonormales.
  • Geometría métrica plana. Ecuaciones de la recta. Posiciones relativas de rectas. Distancias y ángulos. Resolución de problemas.
  • Lugares geométricos del plano.
  • Cónicas. Circunferencia, elipse, hipérbola y parábola. Ecuación y elementos.

Criterios de evaluación y estándares de aprendizaje evaluables

1. Reconocer y trabajar con los ángulos en radianes manejando con soltura las razones trigonométricas de un ángulo, de su doble y mitad, así como las transformaciones trigonométricas usuales.

1.1. Conoce las razones trigonométricas de un ángulo, su doble y mitad, así como las del ángulo suma y diferencia de otros dos.

2. Utilizar los teoremas del seno, coseno y tangente y las fórmulas trigonométricas usuales para resolver ecuaciones trigonométricas así como aplicarlas en la resolución de triángulos directamente o como consecuencia de la resolución de problemas geométricos del mundo natural, geométrico o tecnológico.

2.1. Resuelve problemas geométricos del mundo natural, geométrico o tecnológico, utilizando los teoremas del seno, coseno y tangente y las fórmulas trigonométricas usuales.

3. Manejar la operación del producto escalar y sus consecuencias. Entender los conceptos de base ortogonal y ortonormal. Distinguir y manejarse con precisión en el plano euclídeo y en el plano métrico, utilizando en ambos casos sus herramientas y propiedades.

3.1. Emplea con asiduidad las consecuencias de la definición de producto escalar para normalizar vectores, calcular el coseno de un ángulo, estudiar la ortogonalidad de dos vectores o la proyección de un vector sobre otro.
3.2. Calcula la expresión analítica del producto escalar, del módulo y del coseno del ángulo.

4. Interpretar analíticamente distintas situaciones de la geometría plana elemental, obteniendo las ecuaciones de rectas y utilizarlas, para resolver problemas de incidencia y cálculo de distancias.

4.1. Calcula distancias, entre puntos y de un punto a una recta, así como ángulos de dos rectas.
4.2. Obtiene la ecuación de una recta en sus diversas formas, identificando en cada caso sus elementos característicos.
4.3. Reconoce y diferencia analíticamente las posiciones relativas de las rectas.

5. Manejar el concepto de lugar geométrico en el plano. Identificar las formas correspondientes a algunos lugares geométricos usuales, estudiando sus ecuaciones reducidas y analizando sus propiedades métricas.

5.1. Conoce el significado de lugar geométrico, identificando los lugares más usuales en geometría plana así como sus características.

5.2. Realiza investigaciones utilizando programas informáticos específicos en las que hay que seleccionar, estudiar posiciones relativas y realizar intersecciones entre rectas y las distintas cónicas estudiadas.

 
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Alberto Rodriguez Santos
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